Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное многообразие).
Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном.
Исходное название бутылки Клейна - "Klein Fla-e-che" (Fläche = поверхность) поверхность Клейна. Однако, в названии слово Fläche было интерпретировано как Fla-s-che (бутылка), и из-за доминирования английского языка утвердилось в математической науке, и позднее термин "бутылка Клейна" также вошел в обиход и в Германии.
Бутылка Клейна в трёх измерениях - это аналог Листа Мёбиуса в двух измерениях.
К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:
1. Хроматический номер.
Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими.
Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим.
Хроматический номер бутылки Клейна и листа Мёбиуса – 6.
2. Непрерывность.
C топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.
3. Ориентированность.
Где - начало, где - конец? - сказать невозможно ...
У такой бутылки нет края, и ее поверхности нельзя разделить на внешнюю (наружную) и внутреннюю!
Путешествие по поверхности и листа Мёбиуса и бутылки Клейна превратится в бесконечность.
4. Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса.
Таким образом, бутылка Клейна - геометрическое тело, полученное склейкой двух листов Мебиуса по их краю. Представляет собой подобие тора, однако в отличие от последнего перекручена на один поворот таким образом, что при обходе поверхности бутылки Клейна гипотетический путешественник возвратится зеркально отражённым.
